home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Pro One: Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter1.6p < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1996-08-13  |  11.6 KB  |  591 lines
  1. à 1.6èFirst Order Homogeneous (ï x å y) Differential
  2.     èè Equations
  3. äèèDetermïe if ê differential equation is
  4.     HOMOGENEOUS ï x å y.
  5. â        è 2y - xèè
  6.     Forèy» =è────── = F(x, y)
  7.         è 2x - y
  8.     èèèèèè 2(ay) - (ax)èèa(2y - x)    èè2y - x
  9.     F(ax, ay) =è──────────── =è─────────è=è ──────è=èF(x,y)
  10.         èè 2(ax) - (ay)èèa(2x - y)    èè2x - y
  11.     Therefore, this is homogeneous ï x å y.
  12. éS    è A first order differential equation ï ê form
  13.  
  14.         y»è=èF(x, y)
  15.  
  16.     is said ë be HOMOGENEOUS ï x å y if its functional
  17.     dependence is on ê ratioèy/xè(or x/y) only å not
  18.     on ê value ç x å y ïdividually.
  19.  
  20.     èèTo test for HOMOGENEITY ï x å y, one substitues
  21.     ax for x å ay for y ï F.èIf upon simplification, ê
  22.     result is ê origïal function i.e. if
  23.  
  24.         F(ax, ay)è=èF(x, y)
  25.  
  26.     ê differential equation is homogeneous ï x å y.
  27.  
  28.     èè    è 3x - yèè
  29.     Forèy» =è──────è=èF(x, y)
  30.         è x + 2y
  31.  
  32.     èèèèèè 3(ax) - (ay)èèa(3x - y)    èè3x - y
  33.     F(ax, ay) =è──────────── =è─────────è=è ──────è=èF(x,y)
  34.         èè (ax) + 2(ay)èèa(x + 2y)    èèx + 2y
  35.  
  36.     Therefore, this differential equation is HOMOGENEOUS ï x 
  37.     å y.
  38.  1    èèè3x - y        
  39.         y» =è──────
  40.         èèè x + 2
  41.  
  42.     A)    Homogeneous ï x å y
  43.  
  44.     B)    Not homogeneous ï x å y
  45. üèè    è 3x - yèè
  46.     Forèy» =è──────è=èF(x, y)
  47.         èèx + 2
  48.  
  49.     èèèèèè 3(ax) - (ay)èèa(3x - y)    
  50.     F(ax, ay) =è──────────── =è─────────è
  51.         èèè (ax) + 2èèèèax + 2    
  52.  
  53.     èèAs ê "a" can NOT be facëred å ên canceled,this 
  54.     differential equation is NOT HOMOGENEOUS ï x å y.
  55. ÇèB
  56.  2è    èèè3xì - 2xy    + yì    
  57.         y» =è──────────────
  58.         èèèè xì - 3yì
  59.  
  60.     A)    Homogeneous ï x å y
  61.  
  62.     B)    Not homogeneous ï x å y
  63. üèè For     èèè3xì - 2xy    + yì    
  64.         y» =è──────────────è= F(x, y)
  65.             èxì - yì
  66.  
  67.     èèèèèè 3(ax)ì - 2(ax)(ay) + (ay)ìèè    
  68.     F(ax, ay) =è──────────────────────────è
  69.         èèè     è (ax)ì - 3(ay)ì
  70.  
  71.         èèèaì(3xì - 2xy + yì)
  72.         è=è ──────────────────
  73.         èèèè aì(xì - 3yì)
  74.  
  75.         èèè3xì - 2xy + yì
  76.         è=è ──────────────
  77.         èèèè xì - 3yì
  78.         è=èF(x, y)
  79.  
  80.     Therefore, this differential equation is HOMOGENEOUS 
  81.     ï x å y.
  82. ÇèA
  83.  3    y» =èe╝»╣ tan[x/y]
  84.  
  85.  
  86.     A)    Homogeneous ï x å y
  87.  
  88.     B)    Not homogeneous ï x å y
  89. üèè For     è F(x,y) =èe╝»╣ tan[x/y]    
  90.          
  91.     F(ax, ay) =è e╜╝»╜╣ tan[ax/ay]
  92.  
  93.         è=è e╝»╣ tan[x/y]
  94.  
  95.         è=èF(x, y)
  96.  
  97.     Therefore, this differential equation is HOMOGENEOUS 
  98.     ï x å y.
  99. ÇèA
  100.  4        sï[x + y]
  101.         y»è=è ──────────
  102.             è x + y
  103.  
  104. èèèèA)    Homogeneous ï x å y
  105.  
  106.     B)    Not homogeneous ï x å y
  107. üèè For     èèè sï[x + y]    
  108.         y» =è────────────è= F(x, y)
  109.             èx + y
  110.  
  111.     èèèèèèèsï[(ax) + (ay)]èè    
  112.     F(ax, ay) =è──────────────────è
  113.         èèè      (ax) + (ay)
  114.  
  115.         èèè sï[a(x + y)]
  116.         è=è ───────────────
  117.         èèèè a(x + y)
  118.  
  119.     But asèsï[az] ƒèa sï[z], no cancellïg can be done, this
  120.     differential equation isèNOT HOMOGENEOUS ï x å y.
  121. ÇèB
  122. äèèFïd ê general solution
  123. â    è y» = (2y - x) / (2x - y) is homogeneous.èThe substitution
  124.     y = vx, y» = xv» + v yieldsè xv» + v = (2v - 1)/(2 - v)
  125.     Rearrangïg yieldsèxv» = (vì - 1)/(2 - v) .èSeparatïg
  126.     variable yields ░è2 - v     ░èdx
  127.             ▒ ─────── dvè=è▒è──
  128.             ▓ vì - 1     ▓è xè Solvïg, via partial
  129.     fractions å v = y/x yieldsèy/x + 1 = C(y/x - 1)Äxì
  130. éS    èè To solveèèè 
  131.             y» = F(x, y)
  132.  
  133.     that is HOMOGENEOUS ï x å y, we use ê SUBSITUTION
  134.  
  135.             y = vxèi.e.èv = y/x
  136.  
  137.     Differentiatïg
  138.  
  139.             y» = xv» + v
  140.  
  141.     The homogeneity ï x å y condition converts F(x, y) ë F(v)
  142.     so ê substituted equation becomes
  143.  
  144.         xv» + vè=èF(v)
  145.  
  146.     This differential equation is SEPARABLE as
  147.  
  148.         xv»è=èF(v) - v
  149.     å
  150.         èèdv        dx
  151.         ──────────è=è───
  152.          F(v) - v    x
  153.  
  154.     è Integratïg both sides will produce an EXPLICIT solution
  155.     ï ê variables x å v as long as ê left hå ïtegral
  156.     can be done ï terms ç elementary functions.èTo produce ê
  157.     GENERAL SOLUTIONèsubsituteèv = y/x.èIn some cases, this can
  158.     be solved for an EXPLICIT solution y = g(x).
  159.  
  160.     è In some cases, ê substitutionè x = ywè will produce
  161.     easier ïtegration thanèy = vx.
  162.  5    3y dx + x dy = 0
  163.  
  164.  
  165.     A)    xyÄ = C            B)    xìyì = C
  166.  
  167.     C)    xÄy = C            D)    xÅy = C
  168. ü    è     3y dx + x dy = 0
  169.  
  170.     can be rearraged ë
  171.             è3y
  172.         y»è=è- ────è= F(x, y)
  173.             è x
  174.         èèè 3(ay)    èè 3y
  175.     F(ax, ay) = - ───────è=è- ────è=èF(x, y)
  176.             (ax)    èèèx
  177.     Thus this differential equation is HOMEGENEOUS ï x å y.
  178.     Makïg ê substitutuions
  179.             
  180.             y = vx
  181.  
  182.             y» = xv» + v
  183.  
  184.     yields        xv» + v = -3vèè(as v = y/x)
  185.  
  186.     Or        xv» = -4v
  187.  
  188.     This separates ë
  189.  
  190.         ░è dv        ░è dx
  191.         ▒è────è=è- 4 ▒è────
  192.         ▓èèv        ▓èèx
  193.  
  194.     Integratïg yields
  195.  
  196.         ln[v]è=è-4 ln[x] + ln[C]
  197.  
  198.     or    ln[v]è=èln[xúÅ] + ln[C]
  199.  
  200.     Usïg properties ç logarithms yields ê solution ï v
  201.  
  202.         vè=èC/xÅ
  203.  
  204.     Or    vxÅ = C
  205.  
  206.     Substitutïg thatè v = y/x yields
  207.  
  208.         (y/x)xÅ + c
  209.  
  210.     so ê general solution is
  211.  
  212.         yxÄ = C
  213. Ç    C
  214.  6    (xì + yì) dx - 2xy dyè=è0
  215.  
  216.  
  217.     A)    y = xì + Cx        B)    y = x + Cxì
  218.  
  219.     C)    yì = xì + Cx        D)    yì = x + Cxì
  220. ü    è     (xì + yì) dx - 2xy dyè=è0
  221.  
  222.     can be rearraged ë
  223.             xì + yì
  224.         y»è=è ───────è= F(x, y)
  225.             è2xy
  226.         èè (ax)ì + (ay)ìèèaì(xì + yì)è    
  227.     F(ax, ay) =è────────────è=è───────────è
  228.         èèè 2(ax)(ay)èè     aì(2xy)    
  229.         èèèxì + yì
  230.         è=è ───────è=èF(x,y)è
  231.         èèèè2xyèèè
  232.  
  233.     Thus this differential equation isèHOMEGENEOUS ï x å y.
  234.     Makïg ê substitutuions
  235.             
  236.             y = vx
  237.             y» = xv» + v
  238.                 è 1 + vì
  239.     yields        xv» + v = ───────èè(as v = y/x)
  240.                 èè 2v
  241.  
  242.     Or        èèè 1 + vìèèèè2v
  243.             xv» = ────────è- v ────
  244.             èèèè 2v    èè 2v
  245.                 èvì - 1
  246.             èè=è- ────────
  247.                 èè2v
  248.  
  249.     This separates ë
  250.         ░è2v dv    ░è dx
  251.         ▒è──────è=è- ▒è────
  252.         ▓èvì - 1    ▓èèx
  253.  
  254.     Integratïg yields
  255.  
  256.         ln[vì - 1]è=è- ln[x] + ln[C]
  257.  
  258.     or    ln[vì - 1]è=èln[xúî] + ln[C]
  259.  
  260.     Usïg properties ç logarithms yields ê solution ï v
  261.  
  262.         vì - 1è=èC/x
  263.  
  264.     Or    vìx - x =èC
  265.  
  266.     Substitutïg thatè v = y/x yields
  267.  
  268.         (y/x)ìx - x = C
  269.  
  270.     so ê general solution is
  271.  
  272.         yì = xì + Cx
  273. Ç    C
  274.  7        4x + 3y
  275.         y» = - ─────────
  276.             2x + y
  277.     A)    (y + x)(y + 4x) = C
  278.     B)    (y + x)ì(y + 4x) = C
  279.     C)    (y + x)(y + 4x)ì = C
  280.     D)    (y + x)(y + 4x)Ä = C
  281. ü    è         4x + 3y
  282.         y»è= - ───────è= F(x, y)
  283.             `2x + y
  284.         èèèè4(ax) + 3(ay)èèè a(4x + 3y)è    
  285.     F(ax, ay) =è-è─────────────è=è- ──────────è
  286.         èèèè2(ax) + (ay)èèèè a(2x + y)    
  287.  
  288.         èèè 4x + 3y
  289.         è= -è───────è=èF(x,y)è
  290.         èèèè2x + yèèè
  291.  
  292.     Thus this differential equation is HOMEGENEOUS ï x å y.
  293.     Makïg ê substitutuions
  294.             
  295.             y = vx
  296.  
  297.             y» = xv» + v
  298.  
  299.                 èè 4 + 3v
  300.     yields        xv» + v = - ───────èè(as v = y/x)
  301.                 èè 2 + v
  302.  
  303.     Or        èèèè 4 + 3vèèèè2 + v
  304.             xv» = - ────────è- v ───────
  305.             èèèèè2 + v    èèè 2 + v
  306.  
  307.                 èvì + 5v + 4
  308.             èè=è- ─────────────
  309.                 èè 2 + v
  310.  
  311.     This separates ë
  312.         ░èè 2 + v     èèèè░è dx
  313.         ▒è─────────── dvè=è- ▒è────
  314.         ▒èvì + 5v + 4    èèèè▓èèx
  315.  
  316.     Usïg partial fraction decomposition ë simplify ê left
  317.     ïtegral 
  318.  
  319.         èèè2 + v        A    èèB
  320.         ────────────────è=è───────è+è───────
  321.          (v + 1)(v + 4)    èèèv + 1    èv + 4
  322.  
  323.     Cross multiplyïg yields
  324.  
  325.         2 + vè=èA(v + 4) + B(v + 1)
  326.  
  327.     Substitutïg v = -4
  328.         -2 = -3Bèi.e.èB = 2/3
  329.  
  330.     Substitutïg v = -1
  331.         1 = 3A i.e.èA = 1/3
  332.  
  333.     Substitutïg back ïë ê ïtegral yields
  334.  
  335.         ░èè1    èèèè ░è dvèèèèè░è dx
  336.         ▒è─────èdvè+è▒è─────è=è-3 ▒è────
  337.         ▓èv + 1     ▓èv + 4èèèè▓èèx
  338.  
  339.     Integratïg yields
  340.         
  341.         ln[v + 1] + 2 ln[v + 4]è=è-3 ln[x] + ln[C]
  342.  
  343.     or    ln[v + 1] + ln{[v + 4]ì} =èln[xúÄ] + ln[C]
  344.  
  345.     Usïg properties ç logarithms yields ê solution ï v
  346.  
  347.         xÄ(v + 1)(v + 4)ìè =èC
  348.  
  349.     Substitutïg thatè v = y/x yields
  350.  
  351.         xÄ(y/x + 1)(y/x + 4)ì = C
  352.  
  353.     so ê general solution is
  354.  
  355.         (y + x)(y + 4x)ì = C
  356. Ç    C
  357.  8    [2x sï[y/x] + 3y cos[y/x]] dx - 3x cos[y/x] dy = 0
  358.  
  359.  
  360.     A)    così[y/x] = CxÄ        B)    cosÄ[y/x] = Cxì
  361.  
  362.     C)    sïì[y/x] = CxÄ        D)    sïÄ[y/x] = Cxì
  363. ü     Rearrangïg
  364.         
  365.         [2x sï[y/x] + 3y cos[y/x]] dx - 3x cos[y/x] dy = 0
  366.     yields
  367.     è    èèè 2x sï[y/x] + 3y cos[y/x]
  368.         y»è= ───────────────────────────è= F(x, y)
  369.             èè 3x cos[y/x]
  370.         èèè2(ax)sï[ay/ax] + 3(ay) cos[ay/ax]
  371.     èF(ax, ay) = ──────────────────────────────────è
  372.             èè 3(ax)cos[ay/ax]
  373.         èèè a{2x sï[y/x] + 3y cos[y/x]}
  374.         èè= ──────────────────────────────è
  375.             èèa{3x cos[y/x]}
  376.             
  377.         èè=èF(x, y)
  378.  
  379.     Thus this differential equation is HOMEGENEOUS ï x å y.
  380.     Makïg ê substitutuions
  381.             
  382.             y = vx
  383.             y» = xv» + v
  384.  
  385.                 è2sï[v] + 3vcos[v]
  386.     yields        xv» + v = ──────────────────èè(as v = y/x)
  387.                 èèè 3cos[v]
  388.  
  389.     Or        èèèèè2sï[v]è
  390.             xv» + v = ───────è+ v
  391.             èèèèè3cos[v]è
  392.             èèè 2sï[v]
  393.             xv» = ─────────
  394.             èèè 3cos[v]
  395.  
  396.     This separates ë
  397.         è░è cos[v]     èèè ░è dx
  398.         3 ▒è──────── dvè=è2 ▒è────
  399.         è▓è sï[v]    èèè ▓èèx
  400.  
  401.     Usïg substitution on ê left ïtegral
  402.         u = sï[v]è du = cos[v] dv
  403.     converts that ïtegral ë
  404.          è░è duèèè ░è dx
  405.         3 ▒è───è=è2 ▒è────
  406.         è▓è uèèèè▓èèx
  407.     Integratïg
  408.  
  409.         3 ln[u]è=è ln[x] + ln[C]\
  410.  
  411.     Substitutïg back ë v 
  412.  
  413.         3 ln{sï[v]} = 2 ln[x] + ln[C]
  414.  
  415.     Usïg properties ç logarithms yields ê solution ï v
  416.  
  417.         sïÄ[v] =èCxì
  418.  
  419.     Substitutïg thatè v = y/x yields ê general solution
  420.  
  421.         sïÄ[y/x] = Cxì
  422. Ç    D
  423. äèèSolve ê ïitial value problem
  424. â    y» = (2y - x) / (2x - y); y(3) = 2 is homogeneous.èThe substi-
  425.     tution y = vx, y» = xv» + v yields xv» + v = (2v - 1)/(2 - v)
  426.     Rearrangïg yieldsèxv» = (vì - 1)/(2 - v) .èSeparatïg
  427.     variable yields (2 - v) dv / (vì - 1) dx / x.èIntegratïg,
  428.     usïg partial fraction decomposition å v = y/x yieldsè
  429.     è y/x + 1 = C(y/x - 1)Äxì.è Substitutïg x = 3, y = 2
  430.     givesè2/3 + 1 = C(2/3 - 1)Ä3ì i.e. C = -5èy + x = -5(y-x)Ä
  431. éS    èèA full discussion ç Initial Value Problems for FIRST
  432.     ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS is ï Section 1.2.è
  433.  
  434.     èèBriefly, solvïg an Initial Value Problem is a two-step
  435.     process.èFirst, fïd ê GENERAL SOLUTION ç ê differential
  436.     equation.è Second, substitute ï ê ïitial value ïfor-
  437.     mationèi.e.èx╠ for x å y╠ for y.èThis will produce an
  438.     equation for C which provides ê value ç ê arbitrary 
  439.     constant ë put back ï ê general solution.
  440.  9    x dy + 2y dx = 0
  441.         y(3) = 2
  442.  
  443.  
  444.     A)    xyì = 18        B)    xyì = -18
  445.  
  446.     C)    xìy = 18        D)    xìy = -18
  447. ü    è     x dy + 2y dy = 0
  448.  
  449.     can be rearraged ë
  450.             è2yèè
  451.         y»è=è- ────è= F(x, y)
  452.             è x
  453.         èèè 2(ay)    èè 2y
  454.     F(ax, ay) = - ───────è=è- ────è=èF(x, y)
  455.         èèèè(ax)    èèèx
  456.  
  457.     Thus this differential equation is HOMEGENEOUS ï x å y.
  458.     Makïg ê substitutuions
  459.             
  460.             y = vx
  461.             y» = xv» + v
  462.  
  463.     yields        xv» + v = -2vèè(as v = y/x)
  464.  
  465.     Or        xv» = -3v
  466.  
  467.     This separates ë
  468.  
  469.         ░è dv        ░è dx
  470.         ▒è────è=è- 3 ▒è────
  471.         ▓èèv        ▓èèx
  472.  
  473.     Integratïg yields
  474.  
  475.         ln[v]è=è-3 ln[x] + ln[C]
  476.  
  477.     or    ln[v]è=èln[xúÄ] + ln[C]
  478.  
  479.     Usïg properties ç logarithms yields ê solution ï v
  480.  
  481.         vè=èC/xÄ
  482.  
  483.     Or    vxÄ = C
  484.  
  485.     Substitutïg thatè v = y/x yields
  486.  
  487.         (y/x)xÄ + c
  488.  
  489.     so ê general solution is
  490.  
  491.         yxì = C
  492.  
  493.     For ê ïitial condition y(3) = 2, substitute x= 3, y = 2
  494.     ë give
  495.         2(3)ì = 18 = C
  496.  
  497.     The specific solution is
  498.         yxì = 18
  499. Ç    C
  500.  10    yì dxè-èxì dyè=è0
  501.         y(3) = 4
  502.  
  503.     A)    è 9y = 7xì + 9x     B)    è 9y = 7xì - 9x
  504.  
  505.     C)    è 9y = -7xì + 9x     D)    è 9y = -7xì - 9    
  506. ü     Forè yì dxè-èxì dyè=è0
  507.  
  508.     it rearranges ë
  509.             yì
  510.         y»è=è────è=èF(x, y)
  511.             xì
  512.         èèèè(ay)ìèèè aì yìè    
  513.     F(ax, ay) =èè──────è=è ───────è
  514.         èèèè(ax)ìèèè aì xì    
  515.  
  516.         èèè yì
  517.         è=è ────è=èF(x,y)è
  518.         èèè xìèèè
  519.  
  520.     Thus this is a HOMEGENEOUS IN x AND y differential equation.
  521.     Makïg ê substitutuions
  522.             
  523.             y = vx
  524.             y» = xv» + v
  525.  
  526.     yields        xv» + v = vìèè(as v = y/x)
  527.  
  528.     Or        xv» = vì - v
  529.  
  530.     This separates ë
  531.         ░èè 1     è ░è dx
  532.         ▒è──────èdvè=è ▒è────
  533.         ▒èvì - v     è ▓èèx
  534.  
  535.     Usïg partial fraction decomposition ë simplify ê left
  536.     ïtegral 
  537.  
  538.         èè1         A    èèB
  539.         ──────────è=è─────è+è───────
  540.          v(v - 1)     vèèèèv + 1    
  541.     Cross multiplyïg yields
  542.  
  543.         1è=èA(v + 1) + Bv
  544.  
  545.     Substitutïg v = 0
  546.         1 = Aè
  547.  
  548.     Substitutïg v = -1
  549.         1 = -B i.e.èB = -1
  550.  
  551.     Substitutïg back ïë ê ïtegral yields
  552.  
  553.         ░è 1    èèè ░è dvèèèè░è dx
  554.         ▒è───èdvè-è▒è─────è=è ▒è────
  555.         ▓è v    èèè ▓èv + 1èèè▓èèx
  556.  
  557.     Integratïg yields
  558.         
  559.         ln[v] -èln[v - 1]è=è ln[x] + ln[C]
  560.  
  561.     Usïg properties ç logarithms yields ê solution ï v
  562.  
  563.         v / (v - 1)è =èCx
  564.  
  565.     Substitutïg thatè v = y/x yields
  566.  
  567.         y/x / (y/x - 1) = Cx
  568.  
  569.     so ê general solution is
  570.  
  571.         (y + x) / x = Cx
  572.     or
  573.         y + x = Cxì
  574.  
  575.     or
  576.         y = Cxì - x
  577.     For ê ïitial condition y(3) = 4, substitute x = 3, y = 4
  578.     ë give
  579.         4 = C(3)ì - 3
  580.  
  581.     or    C = -7/9
  582.  
  583.     The specific solution is
  584.  
  585.         9y = -7xì - x
  586. Ç    D
  587.  
  588.  
  589.  
  590.  
  591.